Soluciones para Mozilla Firefox
La solución más rápida consiste en ir al menú Herramientas > Opciones > Aplicaciones, buscar "Adobe Acrobat" y modificar la acción asociada a los documentos PDF.

Otra recomendación de Adobe consiste en guardar los PDF al disco duro, una solución poco satisfactoria. Por otro lado, si deseas tener un control mayor sobre la visualización y descarga de este tipo de documentos, la extensión PDF-Download es lo que necesitas.
Soluciones para Internet Explorer
Para IE hay que asegurarse de que el complemento AdobePDF.dll esté activado. Ve al menú Herramientas > Opciones de Internet > Programas. Luego, haz clic en "Administrar complementos".

Dependiendo de la versión de Internet Explorer, verás un recuadro diferente; el Administrador de complementos de Internet Explorer 8 es el más práctico. Busca los complementos de Adobe Reader y haz clic en habilitar. El cuadro diálogo que aparecerá te pedirá que confirmes la activacion: pulsa Aceptar y podrás volver a abrir PDF en IE.

La clave AcroExch.Document del Registro de Windows
Si tras limpiar la caché del navegador, reiniciar el equipo y aplicar cualquiera de estas soluciones sigues sin poder abrir PDF en tu navegador, es posible que una clave del Registro de Windows se haya corrompido.

Ve al menú Inicio > Ejecutar (Tecla Windows + R), escribe regedit y pulsa Intro. Navega hasta la clave HKEY_CLASSES_ROOT\AcroExch.Document, haz clic sobre la clave y selecciona Borrar. Acepta los recuadros que aparezcan a continuación. Repite el mismo proceso para AcroExch.Document.7 y luego reinstala o repara Adobe Reader.
A su servicio.